Analysis Beispiele

$\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{4 x^{7}}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{4 x^{7}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{x^{7}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{x^{7}}]$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $7 x^{2} + 5 x^{9}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 7 + 5 x^{9}}{x^{7}}]$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{9}$ heraus.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 7 + x^{2} (5 x^{7})}{x^{7}}]$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 7 + x^{2} (5 x^{7})$ heraus.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{7}}]$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{7}$ heraus.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{2} x^{5}}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{2} x^{5}}]$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 + 5 x^{7}}{x^{5}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 7 + 5 x^{7}$ und $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 + 5 x^{7}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 5.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 5.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 5.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{7}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (5 \frac{d}{d x} [x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (5 (7 x^{6})) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (35 x^{6}) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 6

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} x^{5} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6 + 5} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 6.3

Addiere $6$ und $5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{11} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 7

Bringe $35$ auf die linke Seite von $x^{11}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 \cdot x^{11} - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 x^{11} - (7 + 5 x^{7}) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 x^{11} + (- 5 \cdot 7 - 5 (5 x^{7})) x^{4}}{4 x^{10}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 x^{11} - 5 \cdot 7 x^{4} - 5 (5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

Schritt 10.3.1.2

Multipliziere $x^{7}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 (x^{4} x^{7}))}{4 x^{10}}$

Schritt 10.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{4 + 7})}{4 x^{10}}$

Schritt 10.3.1.2.3

Addiere $4$ und $7$ .

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{11})}{4 x^{10}}$

Schritt 10.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 25 x^{11}}{4 x^{10}}$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $25 x^{11}$ von $35 x^{11}$ .

$\frac{10 x^{11} - 35 x^{4}}{4 x^{10}}$

Schritt 10.4

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $10 x^{11} - 35 x^{4}$ heraus.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $10 x^{11}$ heraus.

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7}) - 35 x^{4}}{4 x^{10}}$

Schritt 10.4.2

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $- 35 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7}) + 5 x^{4} (- 7)}{4 x^{10}}$

Schritt 10.4.3

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $5 x^{4} (2 x^{7}) + 5 x^{4} (- 7)$ heraus.

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7} - 7)}{4 x^{10}}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{10}$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $5 x^{4} (2 x^{7} - 7)$ heraus.

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{4 x^{10}}$

Schritt 10.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $4 x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{x^{4} (4 x^{6})}$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{x^{4} (4 x^{6})}$

Schritt 10.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (2 x^{7} - 7)}{4 x^{6}}$