Analysis Beispiele

$4 \sqrt{x y}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 9

Bringe ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 11

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 13

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2 \cdot y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 16

Mutltipliziere $\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2

Vereine die Terme

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Schritt 17.2.1

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.2.2.1

Bewege $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.2

Mutltipliziere $y^{- \frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 17.2.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2.2.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$