Analysis Beispiele

$\frac{5 x}{\sec (5 x)}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{\sec (5 x)}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sec (5 x)$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\sec (5 x)$ mit $1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5

Faktorisiere $\sec (5 x)$ aus $\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ heraus.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit $1$ .

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $\sec (5 x)$ aus $- x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ heraus.

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $\sec (5 x)$ aus $\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$ heraus.

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sec (5 x)$ aus $\sec^{2} (5 x)$ heraus.

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec (5 x)}$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) \cdot 1)}{\sec (5 x)}$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\tan (5 x)$ mit $1$ .

$5 \frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

Schritt 10.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$ .

$\frac{5 (1 - 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{5 - 25 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 25 x \tan (5 x) + 5}{\sec (5 x)}$