Analysis Beispiele

$\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$

Schritt 1

Da $5 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$ nach $x$ gleich $5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2} + 2 x$ .

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $y^{2} + 2 x$ mit $1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \frac{d}{d x} [x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \cdot 1}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$5 y \frac{y^{2} + 0}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.9.3

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$5 y \frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.9.4

Kombiniere $5$ und $\frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ .

$y \frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.9.5

Kombiniere $y$ und $\frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{y (5 y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{5 (y^{1} y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 y^{1 + 2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{5 y^{3}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$