Analysis Beispiele

$\frac{5 x}{2^{x}}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{2^{x}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 2^{x}$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2^{x}$ mit $1$ .

$5 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$5 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Schritt 5

Kombiniere $5$ und $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{5 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 2^{x} + 5 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $5 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 \cdot 2^{x} - 5 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache $- 5 \ln (2)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{5 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{5})))}{2^{2 x}}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 \cdot 2^{x} - \ln (2^{5}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{5 \cdot 2^{x} - \ln (32) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Schritt 6.2.2

Stelle die Faktoren in $5 \cdot 2^{x} - \ln (32) x \cdot 2^{x}$ um.

$\frac{5 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (32)}{2^{2 x}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2^{x} x \ln (32) + 5 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $2^{x}$ aus $- 2^{x} x \ln (32) + 5 \cdot 2^{x}$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2^{x}$ aus $- 2^{x} x \ln (32)$ heraus.

$\frac{2^{x} (- x \ln (32)) + 5 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $2^{x}$ aus $5 \cdot 2^{x}$ heraus.

$\frac{2^{x} (- x \ln (32)) + 2^{x} \cdot 5}{2^{2 x}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{x} (- x \ln (32)) + 2^{x} \cdot 5$ heraus.

$\frac{2^{x} (- x \ln (32) + 5)}{2^{2 x}}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{x}$ und $2^{2 x}$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $2^{2 x}$ aus $2^{x} (- x \ln (32) + 5)$ heraus.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x}}$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (32) + 5)}{1}$

Schritt 6.5.2.4

Dividiere $2^{- x} (- x \ln (32) + 5)$ durch $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (32) + 5)$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2^{- x} (- x \ln (32)) + 2^{- x} \cdot 5$

Schritt 6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 5$

Schritt 6.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $2^{- x}$ .

$- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 5 \cdot 2^{- x}$

Schritt 6.9

Stelle die Faktoren in $- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 5 \cdot 2^{- x}$ um.

$- x \cdot 2^{- x} \ln (32) + 5 \cdot 2^{- x}$