Analysis Beispiele

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x^{2} - x + \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{2} - x + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{2} - x + \frac{1}{x}$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x + \frac{1}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.7.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 - x^{- 2})$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{2 x^{2} - x + \frac{1}{x}} (4 x - 1 - \frac{1}{x^{2}})$