Analysis Beispiele

$e^{\sqrt{\sin (x)}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sin (x)}$ als ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8.3

Bringe ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 9

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$