Analysis Beispiele

$e^{\sqrt[5]{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{5}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{5}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{5}}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Schritt 10

Kombiniere $e^{x^{\frac{1}{5}}}$ und $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{5}}} x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{5}}}}{5 x^{\frac{4}{5}}}$