Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} \cdot (\sin^{2} (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{2} (x)$ und $g (x) = \log_{7} (\sin^{3} (x))$ .

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\log_{7} (\sin^{3} (x))] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{7} (x)$ und $g (x) = \sin^{3} (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin^{3} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{7} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log_{7} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (7)}$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{u_{1} \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin^{3} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)}$ und $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin^{3} (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{3} (x) \ln (7)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{\sin (x) \ln (7)}$ .

$\frac{3}{\sin (x) \ln (7)} (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 5.2

Kombiniere $\sin^{2} (x)$ und $\frac{3}{\sin (x) \ln (7)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 3}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 5.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cdot \sin^{2} (x)}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $3 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \ln (7)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) (\ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \cos (x) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log_{7} (\sin^{3} (x))$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \cdot \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 10

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \cos (x)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \sin (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

Schritt 11.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

Schritt 11.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$