Analysis Beispiele

${\cot (x)}^{\tan (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\cot (x)}^{\tan (x)}$ als $e^{\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})$ durch Herausziehen von $\tan (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (\cot (x))}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \tan (x) \ln (\cot (x))$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x) \ln (\cot (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x) \ln (\cot (x))$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \ln (\cot (x))$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cot (x))] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cot (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cot (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\cot (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 5

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 6

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 8

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{1} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 9

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} ({\tan (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 12

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 13

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \ln (\cot (x)) \sec^{2} (x))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x))) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\ln (\cot (x)) \sec^{2} (x))$

Schritt 14.2

Entferne die Klammern.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \ln (\cot (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 14.3

Stelle die Terme um.

$- e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \csc^{2} (x) \tan^{2} (x) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \sec^{2} (x) \ln (\cot (x))$