Analysis Beispiele

$\arccos (2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arccos (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$