Analysis Beispiele

$\cos^{2} (\cos (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (\cos (x))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (\cos (x))$ .

$2 \cos (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\cos (x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (\cos (x)) (- \sin (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (\cos (x)) (\sin (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) (- \sin (x))$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) \sin (x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von $2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) \sin (x)$ um.

$2 \cos (\cos (x)) \sin (x) \sin (\cos (x))$

Schritt 6.2

Stelle $2 \cos (\cos (x)) \sin (x)$ und $\sin (\cos (x))$ um.

$\sin (\cos (x)) (2 \cos (\cos (x)) \sin (x))$

Schritt 6.3

Versetze die Klammern.

$\sin (\cos (x)) (2 \cos (\cos (x))) \sin (x)$

Schritt 6.4

Stelle $\sin (\cos (x))$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (\cos (x)) \cos (\cos (x)) \sin (x)$

Schritt 6.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 \cos (x)) \sin (x)$