Analysis Beispiele

${\cos (x)}^{\sin (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${\cos (x)}^{\sin (x)}$ als $e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})$ durch Herausziehen von $\sin (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (\cos (x))}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x) \ln (\cos (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \sec (x) (- \sin (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 7

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 11

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \cos (x))$

Schritt 12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x))) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\ln (\cos (x)) \cos (x))$

Schritt 12.2

Entferne die Klammern.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sec (x) (- \sin^{2} (x)) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x)) \cos (x)$

Schritt 12.3

Stelle die Terme um.

$- e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sin^{2} (x) \sec (x) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \cos (x) \ln (\cos (x))$