Analysis Beispiele

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ als $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x^{2}}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}]$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (\cos (x))$ und $g (x) = x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 8

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 9.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x$ heraus.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x)))$ heraus.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 9.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 \ln (\cos (x)) x$ heraus.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

Schritt 9.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))$ heraus.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

Schritt 11

Kombiniere $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ und $\frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \sec (x) \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.2.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.2.1.3

Multipliziere $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 12.2.1.3.1

Kombiniere $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{- x \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)}$ und $x$ .

$\frac{- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.2.1.4

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x) (e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x)}{\cos (x)} + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

Schritt 12.2.1.6

Multipliziere $- 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))$ .

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Schritt 12.2.1.6.1

Stelle $\ln (\cos (x))$ und $- 2$ um.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 \cdot \ln (\cos (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Schritt 12.2.1.6.2

Vereinfache $- 2 \cdot \ln (\cos (x))$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.2.1

Separiere Brüche.

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Schritt 12.2.2.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \tan (x)) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Schritt 12.2.2.3

Dividiere $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x$ durch $1$ .

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Schritt 12.2.3

Stelle die Faktoren in $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ um.

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Schritt 12.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Schritt 12.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.1

Faktorisiere $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ aus $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ heraus.

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Schritt 12.4.1.1

Bewege $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ .

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.1.2

Faktorisiere $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ aus $- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x)$ heraus.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.1.3

Faktorisiere $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ aus $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.1.4

Faktorisiere $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ aus $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))$ heraus.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.3

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $x$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x))$ heraus.

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Schritt 12.4.4.1

Stelle $\sin (x)$ und $x$ um.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)}$ heraus.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (\cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x)))$ heraus.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \cdot - 1 (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.4.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.6.1

Separiere Brüche.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.6.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Schritt 12.6.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$