Analysis Beispiele

$\cos^{3} (3 x^{3} - 2)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (3 x^{3} - 2)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (3 x^{3} - 2)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{3} - 2)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{3} - 2)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (3 x^{3} - 2)$ .

$3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{3} - 2)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x^{3} - 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x^{3} - 2$ .

$3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x^{3} - 2$ .

$3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) (- \sin (3 x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) (\sin (3 x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 3.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (9 x^{2} + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$- 3 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) (9 x^{2})$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$- 27 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) x^{2}$

Schritt 3.7.3

Stelle die Faktoren von $- 27 \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2) x^{2}$ um.

$- 27 x^{2} \cos^{2} (3 x^{3} - 2) \sin (3 x^{3} - 2)$