Analysis Beispiele

$\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\sin (x) + \cos (x)$ mit $1$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 6

Kombiniere $8$ und $\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) + 8 (- x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 (x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere $- x (- \sin (x))$ .

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (1 x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x \cos (x)$ heraus.

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $8$ aus $8 x \sin (x)$ heraus.

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $8$ aus $8 \sin (x)$ heraus.

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.5.4

Faktorisiere $8$ aus $8 \cos (x)$ heraus.

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.5.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x))$ heraus.

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.5.6

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x))$ heraus.

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.5.7

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))$ heraus.

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \cos (x)$ heraus.

$\frac{8 (- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $x \sin (x)$ heraus.

$\frac{8 (- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ heraus.

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (x)$ heraus.

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ heraus.

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (x)$ heraus.

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.13

Schreibe $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ als $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ um.

$\frac{8 (- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$