Analysis Beispiele

$\frac{8 x}{1 - \cot (x)}$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 x}{1 - \cot (x)}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 - \cot (x)$ .

$8 \frac{(1 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{(1 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $1 - \cot (x)$ mit $1$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cot (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Multipliziere.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$8 \frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $8$ und $\frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$ .

$\frac{8 (1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (- \cot (x)) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8 + 8 (- \cot (x)) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8 \cot (x) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 - 8 \cot (x) + 8 (- x \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8 \cot (x) - 8 x \csc^{2} (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 8 x \csc^{2} (x) + 8 - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x \csc^{2} (x) + 8 - 8 \cot (x)$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x \csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1) - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $8$ aus $- 8 \cot (x)$ heraus.

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1) + 8 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1)$ heraus.

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 8 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 8 (- \cot (x))$ heraus.

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x)) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.6

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cot (x)$ heraus.

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x))$ heraus.

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.10

Schreibe $- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ als $- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ um.

$\frac{8 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Schritt 6.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$