Analysis Beispiele

$\frac{8 \ln (x)}{x^{8}}$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 \ln (x)}{x^{8}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{8}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{8}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{8}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{{(x^{8})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{8})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{8 \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x^{8}$ und $\frac{1}{x}$ .

$8 \frac{\frac{x^{8}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{8}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{8}$ heraus.

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{\frac{x^{7}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$8 \frac{x^{7} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$8 \frac{x^{7} - \ln (x) (8 x^{7})}{x^{16}}$

Schritt 5.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$8 \frac{x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$8 \frac{x^{7} \cdot 1 - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $x^{7}$ aus $- 8 \ln (x) x^{7}$ heraus.

$8 \frac{x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))$ heraus.

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{16}$ heraus.

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$

Schritt 7

Kombiniere $8$ und $\frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$ .

$\frac{8 (1 - 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (- 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8 + 8 (- 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache $- 8 \ln (x)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{8 + 8 (- \ln (x^{8}))}{x^{9}}$

Schritt 8.2.3

Multipliziere $8 (- \ln (x^{8}))$ .

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8 \ln (x^{8})}{x^{9}}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache $- 8 \ln (x^{8})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{8 - \ln ({(x^{8})}^{8})}{x^{9}}$

Schritt 8.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{8})}^{8}$ .

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Schritt 8.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 - \ln (x^{8 \cdot 8})}{x^{9}}$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{8 - \ln (x^{64})}{x^{9}}$