Analysis Beispiele

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2}}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 9 x^{3} + 3 x^{2}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{3} + 3 x^{2}] - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{3} + 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{3}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{x (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 3 (2 x)) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{27 x \cdot x^{2} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{27 (x^{2} x) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{27 (x^{2} x^{1}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{27 x^{2 + 1} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{27 x^{3} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{27 x^{3} + 6 x \cdot x - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 (x \cdot x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $9 x^{3}$ von $27 x^{3}$ .

$\frac{18 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{18 x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $18 x^{3} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $18 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)}{x^{2}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)$ heraus.

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2

Dividiere $3 (6 x + 1)$ durch $1$ .

$3 (6 x + 1)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (6 x) + 3 \cdot 1$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$18 x + 3 \cdot 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$18 x + 3$