Analysis Beispiele

$\log_{5} (2 x - 6)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{5} (x)$ und $g (x) = 2 x - 6$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{5} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} \cdot 2$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)}$ und $2$ .

$\frac{2}{(2 x - 6) \ln (5)}$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $2 x - 6$ .

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Schritt 2.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{(2 x - 6) \ln (5)}$

Schritt 2.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 x - 6) \ln (5)$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 ((x - 3) \ln (5))}$

Schritt 2.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 ((x - 3) \ln (5))}$

Schritt 2.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(x - 3) \ln (5)}$

Schritt 2.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x \ln (5) - 3 \ln (5)}$