Analysis Beispiele

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (2 x)$ und $g (x) = 1 + \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \cos (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.2

Füge Klammern hinzu.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) (\cos (x) \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.3

Stelle $2 \sin (2 x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ um.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 \sin (2 x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.4

Füge Klammern hinzu.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.5

Stelle $\cos (x)$ und $\sin (x) \cdot 2$ um.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.6

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.8

Multipliziere $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Schritt 8.3.8.1

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.8.2

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$