Analysis Beispiele

$\frac{\sin (5 x)}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (5 x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$\frac{x (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{x (\cos (5 x) \cdot 5) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$\frac{x (5 \cdot \cos (5 x)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (5 \cos (5 x)) - \sin (5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (5 \cos (5 x)) - \sin (5 x)}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 x \cos (5 x) - \sin (5 x)}{x^{2}}$