Analysis Beispiele

${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6.3

Bringe ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}} \cos (x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Separiere Brüche.

$\frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9.2

Wandle von $\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ nach ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ um.

$\frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{3}$ und ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 9.4

Stelle die Faktoren in $\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ um.

$\frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$