Analysis Beispiele

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

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Schritt 9.2.1.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $1 \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.5

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.5

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 9.2.5.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.5.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x) + \sec (x)$ heraus.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (x) + 1$ und ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

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Schritt 9.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\sec (x) (1 + \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Faktorisiere $1 + \sec (x)$ aus $\sec (x) (1 + \sec (x))$ heraus.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.3.1

Faktorisiere $1 + \sec (x)$ aus ${(1 + \sec (x))}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Schritt 9.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Schritt 9.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$