Analysis Beispiele

$\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (3 x)$ .

$4 \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (3 \cdot \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{4} (3 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\cos (3 x)$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\cos (3 x)$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $3 x$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $- \sin (u_{4})$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $3 x$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \cdot 3))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- 3 \sin (3 x)))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (- 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ aus $12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ aus $12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x)$ heraus.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ aus $12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ heraus.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ aus $12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$ heraus.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))$

Schritt 4.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x)$