Analysis Beispiele

$\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$ als ${(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = e^{2 x} + 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{2 x} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{2 x} + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \cdot 1)$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$ um.

$(2 e^{2 x} + 2) \frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2 e^{2 x} + 2$ mit $\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{2 x}$ heraus.

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2 \cdot 1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (e^{2 x}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 ({(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 10.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{2 x} + 1}{{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$