Analysis Beispiele

$e^{x \tan (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \tan (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x \tan (x)$ .

$e^{x \tan (x)} \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$e^{x \tan (x)} (x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$e^{x \tan (x)} (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \tan (x)} (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$e^{x \tan (x)} (x \sec^{2} (x) + \tan (x))$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x \tan (x)} x \sec^{2} (x) + e^{x \tan (x)} \tan (x)$