Analysis Beispiele

$e^{x \sqrt{7 x + 19}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x + 19}$ als ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}] + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 7 x + 19$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.3

Bringe ${(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 19] + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 19$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 11

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 13

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 14

Da $19$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $19$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 + 0) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.1

Addiere $7$ und $0$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ und $7$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 7}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 \cdot x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 17

Mutltipliziere ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 18

Um ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 19

Kombiniere ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Multipliziere ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.1

Bewege ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.4

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 22.1

Vereinfache ${(7 x + 19)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + (7 x + 19) \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + 2 \cdot (7 x + 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23

Kombiniere $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{7 x + 2 (7 x + 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x + 19))}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x) + 2 \cdot 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 2 \cdot 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $19$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.2

Addiere $7 x$ und $14 x$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.5

Bringe $38$ auf die linke Seite von $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 \cdot e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.6

Stelle die Faktoren in $21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3

Stelle die Terme um.

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.4

Faktorisiere $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ aus $21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 24.4.1

Bewege $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.4.2

Faktorisiere $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ aus $21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.4.3

Faktorisiere $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ aus $38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.4.4

Faktorisiere $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ aus $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38$ heraus.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$