Analysis Beispiele

$e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Schritt 2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Schritt 2.5

Bringe $6$ auf die linke Seite von $e^{6 x}$ .

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc (x) \cot (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$ .

$6 e^{6 x} - \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 3.5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 e^{6 x} - (- (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 e^{6 x} - (- {\csc (x)}^{1 + 2} + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $2$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 3.8

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

Schritt 3.9

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 e^{6 x} - - \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 e^{6 x} + 1 \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\csc^{3} (x)$ mit $1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + 1 (\csc (x) \cot^{2} (x))$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + \csc (x) \cot^{2} (x)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\cot^{2} (x) \csc (x) + 6 e^{6 x} + \csc^{3} (x)$