Analysis Beispiele

$e^{\cos (2 x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$e^{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{\cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (2 x)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{\cos (2 x)} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cos (2 x)} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{\cos (2 x)} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\cos (2 x)} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{\cos (2 x)} (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 3.4.2

Stelle die Faktoren von $e^{\cos (2 x)} (- 2 \sin (2 x))$ um.

$- 2 e^{\cos (2 x)} \sin (2 x)$