Analysis Beispiele

$e^{9 \ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 \ln (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 \ln (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 \ln (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 \ln (x)$ .

$e^{9 \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 \ln (x)]$

Schritt 2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 \ln (x)$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$e^{9 \ln (x)} (9 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{9 \ln (x)} (9 \frac{1}{x})$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{9 \ln (x)} \frac{9}{x}$

Schritt 4.2

Kombiniere $e^{9 \ln (x)}$ und $\frac{9}{x}$ .

$\frac{e^{9 \ln (x)} \cdot 9}{x}$

Schritt 4.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 \ln (x)}$ .

$\frac{9 \cdot e^{9 \ln (x)}}{x}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $9 \ln (x)$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{9 e^{\ln (x^{9})}}{x}$

Schritt 5.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{9 x^{9}}{x}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{9}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{9}$ heraus.

$\frac{x (9 x^{8})}{x}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (9 x^{8})}{x^{1}}$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (9 x^{8})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (9 x^{8})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 x^{8}}{1}$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere $9 x^{8}$ durch $1$ .

$9 x^{8}$