Analysis Beispiele

$\ln ({(3 + e^{x})}^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 + e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) e^{x})$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

Schritt 5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von $\frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$ um.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + e^{x}$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3 + e^{x}$ aus ${(3 + e^{x})}^{2}$ heraus.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{x}}{3 + e^{x}}$