Analysis Beispiele

$\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (3 x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 5.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Schritt 5.8.2

Faktorisiere $x$ aus $x - 2 \ln (3 x) x$ heraus.

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Schritt 5.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Schritt 5.8.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Schritt 5.8.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 \ln (3 x) x$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Schritt 5.8.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{2 x^{3}}$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Vereinfache $- 2 \ln (3 x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - \ln ({(3 x)}^{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$\frac{1 - \ln (3^{2} x^{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 8.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1 - \ln (9 x^{2})}{2 x^{3}}$