Analysis Beispiele

$\ln ({(x^{4})}^{2})$

Schritt 1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{4 \cdot 2})]$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{8})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{8}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{8}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{8}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} (8 x^{7})$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{8}{x^{8}} x^{7}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{8}{x^{8}}$ und $x^{7}$ .

$\frac{8 x^{7}}{x^{8}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $x^{7}$ aus $8 x^{7}$ heraus.

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{8}}$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{7} x}$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{7} x}$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{x}$