Analysis Beispiele

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 9

Bringe ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Schritt 11

Multipliziere ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Bewege ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Schritt 11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Schritt 11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Schritt 11.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Schritt 11.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Schritt 12

Vereinfache $2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Schritt 13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 14

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 16

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 17

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Schritt 19

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Schritt 20.2

Vereine die Terme

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Schritt 20.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Schritt 20.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

Schritt 20.3

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ um.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

Schritt 20.4

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x^{3} - 6 x$ heraus.

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Schritt 20.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

Schritt 20.4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

Schritt 20.4.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ heraus.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Schritt 20.5

Mutltipliziere $24 x^{2} - 3$ mit $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ .

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Schritt 20.6

Faktorisiere $3$ aus $24 x^{2} - 3$ heraus.

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Schritt 20.6.1

Faktorisiere $3$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Schritt 20.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Schritt 20.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$