Analysis Beispiele

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (7 x)$ und $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{7 x}$ und $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $7$ und $\frac{x^{4}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.4.2.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 4.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 4.8.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ heraus.

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Schritt 4.8.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 4.8.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Schritt 4.8.2.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ heraus.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Vereinfache $- 5 \ln (7 x)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $7 x$ an.

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

Schritt 6.3

Potenziere $7$ mit $5$ .

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$