Analysis Beispiele

$\frac{\ln (x)}{\ln (x) + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (x) + 1$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + 0)}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Um $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \cdot 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\ln (x) + 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\ln (x) + 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 12

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 14

Schreibe $\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ als ein Produkt um.

$\frac{\ln (1) + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{\ln (1) + 1}{x}$ mit $\frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\ln (1) + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0 + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Schritt 16.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$