Analysis Beispiele

$\log_{5} (x^{8} + x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{5} (x)$ und $g (x) = x^{8} + x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{8} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{5} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{8} + x$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{8} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (8 x^{7} + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$ um.

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x \ln (5)$ aus $x^{8} \ln (5) + x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x \ln (5)$ aus $x^{8} \ln (5)$ heraus.

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5)}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x \ln (5)$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5) (1)}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $x \ln (5)$ aus $x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5) (1)$ heraus.

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $8 x^{7} + 1$ mit $\frac{1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$ .

$\frac{8 x^{7} + 1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$