Analysis Beispiele

$\log_{2} (x^{2} + 10 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{2} (x)$ und $g (x) = x^{2} + 10 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{2} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 10 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x])$

Schritt 2.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$ um.

$(2 x + 10) \frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $x^{2} \ln (2)$ heraus.

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + 10 x \ln (2)}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $10 x \ln (2)$ heraus.

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $x \ln (2)$ aus $x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)$ heraus.

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2 x + 10$ mit $\frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$ .

$\frac{2 x + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 10$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot 5}{x \ln (2) (x + 10)}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 5$ heraus.

$\frac{2 (x + 5)}{x \ln (2) (x + 10)}$