Analysis Beispiele

$\sqrt{5 x^{2} + 12 x + 9}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x^{2} + 12 x + 9}$ als ${(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 x^{2} + 12 x + 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2} + 12 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} + 12 x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 7.3

Bringe ${(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 12 x + 9]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 12 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 12

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 14

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 12 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 15

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 12 + 0)$

Schritt 16

Addiere $10 x + 12$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 12)$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 12)$ um.

$(10 x + 12) \frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $10 x + 12$ mit $\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 x + 12}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{2 (5 x) + 12}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.4

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 (5 x) + 2 \cdot 6}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x) + 2 (6)$ heraus.

$\frac{2 (5 x + 6)}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 x + 6)}{2 ({(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 17.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x + 6)}{2 {(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x + 6}{{(5 x^{2} + 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$