Analysis Beispiele

$\sqrt{4 x^{2} + 1600}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 1600}]$ als $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2} + 400}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $4 x^{2} + 1600$ als $2^{2} (x^{2} + 400)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2}) + 1600}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $1600$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2}) + 4 (400)}]$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (400)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2} + 400)}]$

Schritt 1.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x^{2} + 400)}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2} + 400}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 400}$ als ${(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 400$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 400$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 400$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 8.3

Bringe ${(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Schritt 8.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 400$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [400]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [400])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [400])$

Schritt 11

Da $400$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $400$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{2}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$