Analysis Beispiele

$\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 18}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 18}$ als ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 x^{2} + 12 x + 18$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} + 12 x + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 12 x + 18$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 7.3

Bringe ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 12 x + 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 12

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 14

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 + \frac{d}{d x} [18])$

Schritt 15

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 + 0)$

Schritt 16

Addiere $6 x + 12$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12)$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12)$ um.

$(6 x + 12) \frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $6 x + 12$ mit $\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 x + 12}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x) + 12}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.4

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 6}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (6)$ heraus.

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 ({(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 17.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x + 6}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.7

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 17.7.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) + 6}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.7.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.7.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 (x + 2)}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$