Analysis Beispiele

$\sqrt{10000 - 40 x - 0.02 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{10000 - 40 x - 0.02 x^{2}}]$ als $\frac{d}{d x} [0.14142135 \sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $10000 - 40 x - 0.02 x^{2}$ als ${0.14142135}^{2} (500000 - 2000 x - x^{2})$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $0.02$ aus $10000$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000) - 40 x - 0.02 x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $0.02$ aus $- 40 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000) + 0.02 (- 2000 x) - 0.02 x^{2}}]$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $0.02$ aus $0.02 (500000) + 0.02 (- 2000 x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x) - 0.02 x^{2}}]$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $0.02$ aus $- 0.02 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x) + 0.02 (- x^{2})}]$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $0.02$ aus $0.02 (500000 - 2000 x) + 0.02 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x - x^{2})}]$

Schritt 1.1.6

Schreibe $0.02$ als ${0.14142135}^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{0.14142135}^{2} (500000 - 2000 x - x^{2})}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [0.14142135 \sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}$ als ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [0.14142135 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Da $0.14142135$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.14142135 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $0.14142135 \frac{d}{d x} [{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$0.14142135 \frac{d}{d x} [{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 500000 - 2000 x - x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $500000 - 2000 x - x^{2}$ .

$0.14142135 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0.14142135 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $500000 - 2000 x - x^{2}$ .

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0.14142135 (\frac{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 8.3

Bringe ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.14142135 (\frac{1}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $0.14142135$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $500000 - 2000 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [500000] + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [500000] + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 10

Da $500000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $500000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2000 x]$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 12

Da $- 2000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2000 x$ nach $x$ gleich $- 2000 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 14

Mutltipliziere $- 2000$ mit $1$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - (2 x))$

Schritt 17

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - 2 x)$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Stelle die Faktoren von $\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - 2 x)$ um.

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.2

Faktorisiere $0.14142135$ aus $0.14142135$ heraus.

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135 (1)}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.3

Faktorisiere $2$ aus $2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135 (1)}{2 ({(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 18.4

Separiere Brüche.

$(- 2000 - 2 x) (\frac{0.14142135}{2} \cdot \frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 18.5

Dividiere $0.14142135$ durch $2$ .

$(- 2000 - 2 x) (0.07071067 \frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 18.6

Kombiniere $0.07071067$ und $\frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.7

Mutltipliziere $- 2000 - 2 x$ mit $\frac{0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- 2000 - 2 x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2000 - 2 x$ heraus.

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Schritt 18.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2000$ heraus.

$\frac{(2 (- 1000) - 2 x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(2 (- 1000) + 2 (- x)) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 1000) + 2 (- x)$ heraus.

$\frac{2 (- 1000 - x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.8.2

Mutltipliziere $0.07071067$ mit $2$ .

$\frac{0.14142135 (- 1000 - x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.9

Schreibe $- 1000$ als $- 1 (1000)$ um.

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000) - x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000) - (x))}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1000) - (x)$ heraus.

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000 + x))}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{0.14142135 (1000 + x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$