Analysis Beispiele

$\sqrt{1 - 25 x^{2}} \arccos (5 x)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - 25 x^{2}}$ als ${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arccos (5 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \arccos (5 x)$ .

${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arccos (5 x)] + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\arccos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(5 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - (5^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - (25 x^{2})}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Kombiniere ${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 \frac{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ .

$\frac{- 5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \cdot 1 + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - 25 x^{2}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 - 25 x^{2}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - 25 x^{2}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2} {(1 - 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 10.3

Bringe ${(1 - 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \arccos (5 x) (\frac{1}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}])$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $\arccos (5 x)$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{\arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 25 x^{2}]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 25 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 25 x^{2}]$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{\arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 25 x^{2}])$

Schritt 12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{\arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 25 x^{2}])$

Schritt 13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 25 x^{2}]$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{\arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 25 x^{2}]$

Schritt 14

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{\arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 25 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.1

Kombiniere $- 25$ und $\frac{\arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{- 25 \arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 15.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 17

Vereinfache Terme.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} - 2 \frac{25 \arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 17.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{25 \arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{- 2 (25 \arccos (5 x))}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 17.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 2$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{- 50 \arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 17.4

Kombiniere $\frac{- 50 \arccos (5 x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{- 50 \arccos (5 x) x}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5

Faktorisiere $2$ aus $- 50 \arccos (5 x) x$ heraus.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{2 (- 25 \arccos (5 x) x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{2 (- 25 \arccos (5 x) x)}{2 ({(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{2 (- 25 \arccos (5 x) x)}{2 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} + \frac{- 25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Um $- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Um $- \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ .

Schritt 22

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{1 - 25 x^{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 22.1

Mutltipliziere $\frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ mit $\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 22.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - 25 x^{2}}$ als ${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 22.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 22.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 22.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 22.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 22.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}} - \frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 22.7

Mutltipliziere $\frac{25 \arccos (5 x) x}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}} - \frac{25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

Schritt 22.8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - 25 x^{2}}$ als ${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}} - \frac{25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}} - \frac{25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 22.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}} - \frac{25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Schritt 22.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}} - \frac{25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 22.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}} - \frac{25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 22.12.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}} - \frac{25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}}$

Schritt 23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}}$

Schritt 24

Multipliziere ${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 24.1

Bewege ${(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 ({(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}}$

Schritt 24.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}}$

Schritt 24.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}}$

Schritt 24.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 5 {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{2}{2}} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}}$

Schritt 24.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- 5 {(1 - 25 x^{2})}^{1} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}}$

Schritt 25

Vereinfache $- 5 {(1 - 25 x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- 5 (1 - 25 x^{2}) - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{{(1 - 25 x^{2})}^{1}}$

Schritt 26

Vereinfache.

$\frac{- 5 (1 - 25 x^{2}) - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27

Vereinfache.

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Schritt 27.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 \cdot 1 - 5 (- 25 x^{2}) - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 27.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 27.2.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{- 5 - 5 (- 25 x^{2}) - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27.2.1.2

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 5$ .

$\frac{- 5 + 125 x^{2} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27.2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- 5 + 125 x^{2} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1^{2} - 25 x^{2}}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27.2.1.4

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$\frac{- 5 + 125 x^{2} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27.2.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 5 x$ .

$\frac{- 5 + 125 x^{2} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{(1 + 5 x) (1 - (5 x))}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 + 125 x^{2} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{(1 + 5 x) (1 - 5 x)}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27.2.2

Stelle die Faktoren in $- 5 + 125 x^{2} - 25 \arccos (5 x) x \sqrt{(1 + 5 x) (1 - 5 x)}$ um.

$\frac{- 5 + 125 x^{2} - 25 x \arccos (5 x) \sqrt{(1 + 5 x) (1 - 5 x)}}{1 - 25 x^{2}}$

Schritt 27.3

Stelle die Terme um.

$\frac{125 x^{2} - 25 x \sqrt{(1 + 5 x) (1 - 5 x)} \arccos (5 x) - 5}{- 25 x^{2} + 1}$