Analysis Beispiele

$\sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$ als ${(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + 2 e^{3 x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 e^{3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

Schritt 7.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

Schritt 7.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$

Schritt 7.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Schritt 7.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 7.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 7.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Kombiniere $e^{3 x}$ und $\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 9.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.3

Kombiniere $3$ und $\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{3 x}}{{(2 e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$