Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\cos^{2} (3 x)}$ als ${\cos (3 x)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{\cos (3 x)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (3 x)$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 7.3

Bringe ${\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ und $\sin (3 x)$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 9.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 3 (2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{- 6 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.3.4

Faktorisiere $3$ aus $- 6 \sin (3 x)$ heraus.

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 ({\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$