Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{\frac{2 x + 5}{3 x + 2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\frac{2 x + 5}{3 x + 2}}$ als ${(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = \frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + 5$ und $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (3 x + 2) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.12.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 9.12.3

Mutltipliziere $\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2} \cdot 3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 9.12.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(3 x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 \cdot {(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{3 x + 2}{2 x + 5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ an.

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5

Vereine die Terme

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{6 x + 4 - 6 x - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{6 x + 4 - 6 x - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.5

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$\frac{0 + 4 - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.6

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{4 - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.7

Subtrahiere $15$ von $4$ .

$\frac{- 11}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.9

Mutltipliziere $\frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{11}{3 {(3 x + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 11}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} (3 {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 10.5.10

Bringe $11$ auf die linke Seite von ${(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11 \cdot {(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} (3 {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 10.5.11

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11 {(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 10.5.12

Bringe ${(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 10.5.13

Multipliziere ${(3 x + 2)}^{2}$ mit ${(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.5.13.1

Bewege ${(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} ({(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 10.5.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Schritt 10.5.13.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Schritt 10.5.13.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 10.5.13.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 10.5.13.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.13.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Schritt 10.5.13.6.2

Addiere $- 2$ und $6$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{4}{3}}}$