Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{3 x}$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Da $3^{\frac{1}{3}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 10

Kombiniere $3^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Bringe $3^{\frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}}$

Schritt 11.2

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 12

Multipliziere $3$ mit $3^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{- \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 12.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3^{1 - \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3^{\frac{3 - 1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 12.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$