Analysis Beispiele

$\frac{x}{{(2 x - 7)}^{9}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x - 7)}^{9}$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{9}]}{{({(2 x - 7)}^{9})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 7)}^{9})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{9}]}{{(2 x - 7)}^{9 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{9}]}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{9}]}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere ${(2 x - 7)}^{9}$ mit $1$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{9}]}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{9}$ und $g (x) = 2 x - 7$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 7$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 7])}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 7$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} - x (9 {(2 x - 7)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 7])}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 7)}^{9} - 9 x ({(2 x - 7)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 7])}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere ${(2 x - 7)}^{8}$ aus ${(2 x - 7)}^{9} - 9 x ({(2 x - 7)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere ${(2 x - 7)}^{8}$ aus ${(2 x - 7)}^{9}$ heraus.

$\frac{{(2 x - 7)}^{8} (2 x - 7) - 9 x ({(2 x - 7)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 7])}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere ${(2 x - 7)}^{8}$ aus $- 9 x ({(2 x - 7)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$ heraus.

$\frac{{(2 x - 7)}^{8} (2 x - 7) + {(2 x - 7)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [2 x - 7]))}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere ${(2 x - 7)}^{8}$ aus ${(2 x - 7)}^{8} (2 x - 7) + {(2 x - 7)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [2 x - 7]))$ heraus.

$\frac{{(2 x - 7)}^{8} (2 x - 7 - 9 x (\frac{d}{d x} [2 x - 7]))}{{(2 x - 7)}^{18}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere ${(2 x - 7)}^{8}$ aus ${(2 x - 7)}^{18}$ heraus.

$\frac{{(2 x - 7)}^{8} (2 x - 7 - 9 x (\frac{d}{d x} [2 x - 7]))}{{(2 x - 7)}^{8} {(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 x - 7)}^{8} (2 x - 7 - 9 x (\frac{d}{d x} [2 x - 7]))}{{(2 x - 7)}^{8} {(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x - 7 - 9 x (\frac{d}{d x} [2 x - 7])}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{2 x - 7 - 9 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 7 - 9 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x - 7 - 9 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 7 - 9 x (2 + \frac{d}{d x} [- 7])}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 10

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 x - 7 - 9 x (2 + 0)}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 11

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 11.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 x - 7 - 9 x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{2 x - 7 - 18 x}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 11.3

Subtrahiere $18 x$ von $2 x$ .

$\frac{- 16 x - 7}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{- (16 x) - 7}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 12.2

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$\frac{- (16 x) - 1 (7)}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 x) - 1 (7)$ heraus.

$\frac{- (16 x + 7)}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 12.4

Schreibe $- (16 x + 7)$ als $- 1 (16 x + 7)$ um.

$\frac{- 1 (16 x + 7)}{{(2 x - 7)}^{10}}$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 x + 7}{{(2 x - 7)}^{10}}$