Analysis Beispiele

$x^{\frac{1}{7}} - x^{- \frac{6}{7}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{7}} - x^{- \frac{6}{7}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{- \frac{6}{7}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{- \frac{6}{7}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{6}{7}}]$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - \frac{d}{d x} [x^{- \frac{6}{7}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{6}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - (- \frac{6}{7} x^{- \frac{6}{7} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - (- \frac{6}{7} x^{- \frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - (- \frac{6}{7} x^{- \frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - (- \frac{6}{7} x^{\frac{- 6 - 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - (- \frac{6}{7} x^{\frac{- 6 - 7}{7}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $7$ von $- 6$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - (- \frac{6}{7} x^{\frac{- 13}{7}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - (- \frac{6}{7} x^{- \frac{13}{7}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $x^{- \frac{13}{7}}$ und $\frac{6}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} - - \frac{x^{- \frac{13}{7}} \cdot 6}{7}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} + 1 \frac{x^{- \frac{13}{7}} \cdot 6}{7}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{13}{7}} \cdot 6}{7}$ mit $1$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} + \frac{x^{- \frac{13}{7}} \cdot 6}{7}$

Schritt 3.11

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{13}{7}}$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 \cdot x^{- \frac{13}{7}}}{7}$

Schritt 3.12

Bringe $x^{- \frac{13}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}} + \frac{6}{7 x^{\frac{13}{7}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{6}{7}}} + \frac{6}{7 x^{\frac{13}{7}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + \frac{6}{7 x^{\frac{13}{7}}}$